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Algorithmen (Glättung)

Inhalt

Das bewegliche Fenster der Methoden Gleitender Durchschnitt, Savitzky-Golay oder Rangordnungsfilter

Wenn die Glättungsmethode der gleitende Durchschnitt, Savitzky-Golay oder der Rangordnungsfilter ist, wird jeder geglättete Datenpunkt aus den Datenpunkten innerhalb eines beweglichen Fensters berechnet Angenommen, \left\{f_i| i = 1,2,...,N\right\} sind die Eingabedatenpunkte und \left\{g_i|i = 1,2,...,N\right\} bezeichnen die Ausgabedatenpunkte. Jedes g_i wird berechnet aus \left\{f_m|i - floor(npts/2) < m < i + floor(npts/2)\right\}

wobei npts der Wert der Variable Punkte des Fensters ist.

Bei Verwendung der Glättungsmethode FFT-Filter wird jedoch kein bewegliches Fenster verwendet. Stattdessen wird das gesamte Signal verarbeitet.

Die Methode des gleitenden Durchschnitts

Die Methode des gleitenden Durchschnitts führt die einfachste mögliche Mittelwertbildung durch: Jeder g_i ist der Durchschnitt der Datenpunkte innerhalb des beweglichen Fensters. Wenn die Option Gewichteter Durchschnitt verwendet wird, wird der Durchschnitt mit Hilfe der gewichteten Mittelwertbildung berechnet. In diesem Fall wird eine parabolische Gewichtung verwendet, wobei der Gewichtungsbereich auf 1 normiert wird. Für ein Fenster, dessen Mitte in i liegt (d.h., der i-te gemittelte Punkt wird berechnet), beträgt die Gewichtung, die dem j-ten Punkt (j=0, 1, ... npts-1) entspricht:

w_j=1-(\frac{(j-i)}{(N+1)/2})^2

wobei N die Anzahl der Punkte des Fensters ist.

Die Savitzky-Golay-Methode

Die Savitzky-Golay-Methode führt eine polynomielle Regression für die Datenpunkte in dem beweglichen Fenster durch. g_i wird dann als der Wert des Polynoms bei Position i berechnet.

Die Methode des Rangordnungsfilters

Für den Rangordnungsfilter wird das p-te Quantil der Punkte in dem beweglichen Fenster als g_i zugeordnet, wobei p durch den Parameter Perzentil festgelegt wird. Das p-te Quantil (oder 100 p-te Perzentil) wird aus der empirischen Verteilungsfunktion folgendermaßen berechnet:

Es sei npts\cdot p/100=j+g

wobei j der ganzzahlige Teil von npts\cdot p/100 und g der Bruchteil davon ist.

Dann kann das p-te Quantil, das mit y bezeichnet wird, mit folgenden Gleichungen berechnet werden:

y= \begin{cases} x_j, & \mbox{if }g=0 \\ x_{j+1}, & \mbox{if }g>0 \end{cases}

wobei x_j der j-te (j=0, 1, ... npts-1) Punkt in dem beweglichen Fenster ist.

Die Methode des FFT-Filters

Wenn die Methode des FFT-Filters ausgewählt ist, führt Origin Folgendes durch:

  1. Berechnen Sie den Mittelwert des ersten 1% Datenpunkte und den Mittelwert des letzten 1% Datenpunkte.
  2. Erstellen Sie eine gerade Linie durch diese zwei Punkte und subtrahieren Sie die Eingabedaten mit dieser Linie.
  3. Führen Sie eine FFT für den im letzten Schritt erhaltenen Datensatz durch.
  4. Wenden Sie eine Filterung mit dem parabolischen Tiefpassfilter an.
  5. Führen Sie eine IFFT für das gefilterte Spektrum durch.
  6. Fügen Sie die Basislinie zu dem Datensatz hinzu, den Sie im letzten Schritt erhalten haben.

Hinweis:

Die Lowess- und Loess-Methode

Die Abkürzungen Lowess und Loess stehen für "locally weighted scatterplot smoothing" bzw. "locally weighted least squares", etwa "lokal gewichtete Glättung von Punktdiagrammen" bzw. "lokal gewichtete kleinste Quadrate". Es wird von "lokal" gesprochen, weil jeder geglättete Wert mit Hilfe der Nachbarpunkte berechnet wird, die sich innerhalb eines bestimmten Datenbereichs von Werten befinden. Diese Methode wird klassisch mit folgenden Schritten durchgeführt:

  1. Berechnen Sie die Gewichtungen für einen zentralen Punkt x_i und alle Nachbarpunkte innerhalb des Datenbereichs mit Hilfe der trikubischen Gewichtungsfunktion...
    w_i(x)=(1-(\frac{|x-x_i|}{d_i})^3)^3
    wobei x ein Nachbarpunkt innerhalb des mit dem aktuellen Zentrum x_i verbundenen Datenbereichs ist, und d_i die Distanz entlang der Abszisse (X-Achse) von x_i bis zum am weitesten entfernt liegenden Nachbarpunkt innerhalb des Datenbereichs ist.
  2. Führen Sie die gewichtete Regression der kleinsten Quadrate durch.
    • Für Lowess wird eine gewichtete lineare Regression verwendet.
    • Für Loess wird eine polynomielle Regression zweiter Ordnung verwendet.
  3. Ermitteln Sie den prognostizierten Wert (x_i,\hat{y}_i), der in Schritt 2 für x_i gegeben ist.
  4. Verschieben Sie zum nächsten Punkt x_{i+1} und führen Sie dann Schritt 1-3 durch, um den vorhergesagten Wert (x_{i+1},\hat{y}_{i+1}) zu erhalten. Die Berechnung ist beendet, wenn alle Punkte berechnet sind.

Die Binomialmethode

Der Binomialfilter ist ein gewichteter Filter des gleitenden Durchschnitts. {x_n} seien die Eingabequelldaten und {y_n} die geglätteten Ausgabedaten.

y_n=\sum_{k=-N_p}^{Np}b_kx_{n-k}

Die Sequenz der geglätteten Koeffizienten b_k wird gegeben durch:

b_k=\begin{pmatrix} 2N_p\\ N_p+k \end{pmatrix}/4^{N_p}\; \; (k=0,1,...N_p)

und

b_{-k}=b_{k}

N_p ist die Ordnung.

Grenzfrequenz

Die Grenzfrequenz fc wird berechnet mit:

 fc=\frac{2}{\pi}arccos(Ac^{1/2N_p})\frac{fs}{2}

 fs=\frac{1}{dt}

dt ist das Abtastintervall. Ac ist die Grenzamplitude bei -6dB, Ac=0,5. Die Grenzfrequenz nimmt bei aufsteigender Ordnung N_p ab.

 

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